【公式】万有引力


1、开普勒行星运动定律

(1)第一定律(轨道定律):所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。

(2)第二定律(面积定律):对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间扫过的面积相等。

(3)第三定律(周期定律):所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方的比值都相等。

    表示为:\(\dfrac {a^{3}}{T^{2}}=k\),其中\(a\)为半长轴,\(T\)为公转周期。

    叨哥口诀:椭圆轨道定律,等时等面积定律,三长两周定律。


2、万有引力定律公式

(1)两个物体间万有引力:\(F=\dfrac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}\)

    ①\(G=6.67\times10^{-11}N\cdot m^{2}/kg^{2}\)是万有引力常数。

    ②\(m_{1},m_{2}\)分别为两个物体的质量。

    ③\(r\)为两个物体的质点间距离。

    ④万有引力适用于计算两个质点间的万有引力。


3、行星做匀速圆周运动

(1)圆周运动向心力\(F=ma=\dfrac {mv^{2}}{r}=m\omega^{2}r=\dfrac {4\pi ^{2}}{T^{2}}mr\)。

(2)恒星质量为M,行星质量为m,万有引力为\(F_{万}=\dfrac {GMm}{r^{2}}\),提供向心力。

(3)\(\dfrac {GMm}{r^{2}}=\begin{cases}ma\\ \\ \dfrac {mv^{2}}{r}\\ \\ m\omega ^{2}r\\ \\ m\dfrac {4\pi ^{2}}{T^{2}}r\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=\dfrac {GM}{r^{2}}\\ v=\sqrt {\dfrac {GM}{r}}\\ \omega =\sqrt {\dfrac {GM}{r^{3}}}\\ T=\sqrt {\dfrac {4\pi ^{2}r^{3}}{GM}}\end{cases}\)

    随着轨道半径的增加,向心力减小,向心加速度减小,线速度减小,角速度减小,周期增加。


4、黄金代换

(1)忽略地球自转的影响后,万有引力可认为就等于重力。

    公式:\(\dfrac {GMm}{R^{2}}=mg\)

    其中M为地球质量,R为地球半径,g为地球表面的重力加速度。

(2)由上式可推导出\(GM=gR^{2}\),该公式即为黄金代换式。


5、黄金代换的应用

(1)计算地球的质量

    由 \(\dfrac {GMm}{R^{2}}=mg\),得\(M=\dfrac {gR^{2}}{G}\)。

(2)计算第一宇宙速度

    由\(mg=\dfrac{mv^{2}}{R}\),得\(v=\sqrt{gR}\)。


6、计算地球的密度

(1)利用黄金代换计算

    由\(\begin{cases}mg=\dfrac {GMm}{R^{2}}\\V=\dfrac {4}{3}\pi R^{3}\end{cases}\Rightarrow \rho =\dfrac {M}{V}=\dfrac {3g}{4\pi GR}\)

(2)利用轨道半径为\(r\)的卫星计算

    由\(\begin{cases}\dfrac {GMm}{r^{2}}=m\dfrac {4\pi ^{2}}{T^{2}}r\\V=\dfrac {4}{3}\pi R^{3}\end{cases} \Rightarrow \rho =\dfrac {M}{V}=\dfrac {3\pi r^{3}}{GTR^{3}}\)


7、三大宇宙速度

(1)第一宇宙速度公式:\(v_{1}=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=7.9km/s\)

(2)第二宇宙速度公式:\(v_{2}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}=11.2km/s\)

(3)第三宇宙速度公式:\(v_{3}=16.7km/s\)


8、地球质量的其他表示

    即\(\dfrac {GMm}{r^{2}}=\begin{cases}\dfrac {mv^{2}}{r}\\ \\ m\omega ^{2}r\\ \\ m\dfrac {4\pi ^{2}}{T^{2}}r\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}M=\dfrac {v^{2}r}{G}\\ M=\dfrac {\omega ^{2}r^{3}}{G}\\ M=\dfrac {4\pi ^{2}r^{3}}{GT^{2}}\end{cases}\)