【公式】平抛运动


1、平抛运动

(1)平抛运动的速度

    ①水平和竖直方向分速度公式:\(\begin{cases}v_{x}=v_{0}\\ v_{y}=gt\end{cases}\)

    ②合速度公式:\(v=\sqrt {v^{2}_{x}+v^{2}_{y}}\)

    ③速度方向与水平方向的夹角公式:\(\begin{aligned}\tan \alpha =\dfrac {v_{y}}{v_{x}}=\dfrac {gt}{v_{0}}\end{aligned}\)

(2)平抛运动的位移

    ①水平和竖直方向位移公式:\(\begin{cases}x=v_{x}t\\ y=\dfrac {1}{2}gt^{2}\end{cases}\)

    ②合位移公式:\(s=\sqrt {x^{2}+y^{2}}\)

    ③位移方向与水平方向的夹角公式:\(\begin{aligned}\tan \beta =\dfrac {y}{x}=\dfrac {\frac {1}{2}gt^{2}}{v_{x}t}=\dfrac {gt}{2v_{0}}\end{aligned}\)

(3)夹角关系:\(\tan \alpha =2\tan \beta\)

(4)平抛运动的轨迹

    在水平方向\(x=v_{0}t\)(1)

    在竖直方向\(y=\dfrac {1}{2}gt^{2}\)(2)

    把(1)中的\(t=\dfrac {x}{v_{0}}\)带入(2)中,得到\(y=\dfrac {gx^{2}}{2v^{2}_{0}}\)

    是二次函数,平抛运动轨迹是抛物线。


2、斜上抛运动

(1)斜上抛运动:只受到重力的作用,初速度斜向上与水平方向成\(\theta (\theta \neq 90^{\circ})\)角的运动。

(2)斜上抛运动的速度

    水平和竖直方向分速度公式:\(\begin{cases}v_{x}=v_{0}\cos \theta \\ v_{y}=v_{0}\sin \theta-gt \end{cases}\)

(3)斜上抛运动的位移

    水平和竖直方向位移公式:\(\begin{cases}x=v_{0}\cos \theta \cdot t\\ y=v_{0}\sin \theta \cdot t-\dfrac {1}{2}gt^{2}\end{cases}\)

(4)斜上抛运动的轨迹(了解)

    上式求出t的表达式:\(t=\dfrac {x}{v_{0} \cos \theta }\)

    将其代入竖直位移可得:\(y=x\tan \theta -\dfrac {gx^{2}}{2v^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }\)

    即为斜上抛物体的轨迹方程。

(5)对于斜上抛物体,令\(y=0\),即与抛出时等高:

    ①飞行时间公式\(t=\dfrac {2v_{0}\sin \theta }{g}\)

    ②水平方向位移公式为\(x=\dfrac {v^{2}_{0}\sin 2\theta }{g}\),当\(\theta =\dfrac{\pi }{2}\)时,取得最大值为\(x=\dfrac{v_{0}^{2}}{g}\)。


3、斜下抛运动

(1)斜下抛运动:只受到重力的作用,初速度斜向下与水平方向成\(\theta (\theta \neq 90^{\circ})\)角的运动。

(2)斜下抛运动的速度

    水平和竖直方向分速度公式:\(\begin{cases}v_{x}=v_{0}\cos \theta \\ v_{y}=v_{0}\sin \theta+gt \end{cases}\)

(3)斜下抛运动的位移

    水平和竖直方向位移公式:\(\begin{cases}x=v_{0}\cos \theta \cdot t\\ y=v_{0}\sin \theta \cdot t+\dfrac {1}{2}gt^{2}\end{cases}\)

(4)斜下抛运动的轨迹(了解)

    上式求出t的表达式:\(t=\dfrac {x}{v_{0} \cos \theta }\)

    将其代入竖直位移可得:\(y=x\tan \theta +\dfrac {gx^{2}}{2v^{2}_{0}\cos ^{2}\theta }\)

    即为斜下抛物体的轨迹方程。