万有引力定律

万有引力定律（law of universal gravitation）

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，与他们之间距离的二次方成反比。作用力的方向在他们的连线上。

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万有引力的表达式：

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

其中，$F_1$ 和 $F_2$ 为两个物体（质量分别为 $m_1$ 与 $m_2$）之间的万有引力；$G$ 为万有引力常量（由卡文迪许测量出）；$r$ 为两者的距离。

万有引力定律公式适用条件

  • 适用于计算质点间的相互作用。
  • 两个质量分布均匀的球体之间的相互作用，也可以用这个公式，$r$ 为两个球心的距离。
  • 两个物体距离远大于本身大小时，$r$ 为两个物体间的距离。

万有引力的特点

  • 普遍性：适用于宇宙任何两个质量的物体之间万有引力。
  • 相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力。
  • 宏观性：地面物体间的万有引力较小，可以忽略，但是在天体之间，或者天体与附近的物体之间的万有引力起决定作用。

万有引力定律的基础：开普勒行星运动三大定律

开普勒行星运动三定律内容如下：

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  • 开普勒第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；
  • 开普勒第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；
  • 开普勒第三定律：行星轨道半长轴的立方与其周期的平方成正比，即：
$$ \frac{R^3}{T^2} = k $$

开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家第谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律，而这些规律正是万有引力问世的前提。

万有引力与重力的关系

地球表面上的物体所受的万有引力 $F$ 有两个作用效果：一个是重力 $G$，一个是向心力 $F’$。

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它们间的关系是：$F$ 是 $G$ 和 $F’$ 的矢量和。

其中

$$ F = G \frac{M m}{r^2} $$

是物体 $m$ 与地球 $M$ 的万有引力；

$$ F’ = m \omega^2 r_1 $$

是地球上物体随地球自转时的向心力，$\omega$ 是地球自转角速度，$r_1$ 是物体做圆周运动的半径。随着纬度增加，物体做圆周运动的半径 $r_1$ 会减小，因此 $F’$ 在赤道最大，在两极为 0，因此由矢量计算得到重力 $G$ 从赤道向两极逐渐增加。

地球表面的物体所受到的向心力 $F’$ 的大小不超过重力 $G$ 的 0.35%，因此在计算中往往认为万有引力和重力大小相等。

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